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幾種數(shù)學(xué)模型在管理決策中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

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內(nèi)容摘要

由管理決策學(xué)理論的發(fā)展歷程，我們可以知道，數(shù)學(xué)是推動(dòng)決策理論發(fā)展的重要支柱。并且，合適數(shù)學(xué)模型的建立是合理解決現(xiàn)實(shí)決策問題之關(guān)鍵。通過數(shù)學(xué)模型，能較準(zhǔn)確地測(cè)定該模型內(nèi)各要素之間的數(shù)量關(guān)系，以供人們做出分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制。本文通過列舉數(shù)學(xué)模型在管理決策領(lǐng)域中幾個(gè)方面的應(yīng)用，意在引起大家對(duì)數(shù)學(xué)模型的重視，以便保證最優(yōu)地解決經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中所反映的問題，做出較好的決策，創(chuàng)造出最大的經(jīng)濟(jì)效益。

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幾種數(shù)學(xué)模型在管理決策中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、模型介紹

（一）、利用期望值解決風(fēng)險(xiǎn)型決策問題

處理風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，簡(jiǎn)易可行的方法是利用期望收益最大的原則進(jìn)行方案選擇。即進(jìn)行備選方案的收益（或損失）比較，選擇收益（或損失）最大（最小）的方案。實(shí)例如下，
設(shè)某一風(fēng)險(xiǎn)型決策問題的收益表如下
備選方案	狀態(tài)1（P1=0.3）	狀態(tài)2(P2=0.7)
A	10000	15000
B	0	30000
則有：  E(A)=10000*0.3+15000*0.7=3000+10500=13500
E(B)=0*0.3    +30000*0.7=0   +21000=21000
所以，我們根據(jù)期望收益最大原則選擇方案B。

（二）、利用極值存在條件求最大利潤的產(chǎn)出水平

生產(chǎn)經(jīng)營者要根據(jù)成本情況和銷售情況確定最佳產(chǎn)量，取得最大利潤。因此，選取簡(jiǎn)單易行的數(shù)學(xué)模型就顯得很有必要。而利用極值存在的必要條件和充分條件求解最大利潤的產(chǎn)量則是一個(gè)常用的方法。
實(shí)例如下，
設(shè)某一產(chǎn)商生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本幾乎可以忽略不計(jì)，邊際成本與邊際收益函數(shù)分別為：
 
又極值存在的必要條件，可知MC=MR，解得 ，
所以取

（三）、利用shapley值法建立收益合理分配模型

n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，對(duì)于他們之中若干人組合的每一種合作，都會(huì)得到一定的效益。當(dāng)人們之間的利益是非對(duì)抗性時(shí)，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。這樣，全體n個(gè)人的合作將帶來最大效益，n個(gè)人的集體及各種合作的效益就構(gòu)成n個(gè)合作對(duì)策。Shapley值是分配這個(gè)最大效益的一種方案。
1、shapley值定理的描述。
設(shè) 是 人合作對(duì)策，則存在唯一的一組shapley值：
 
 表示第 個(gè)伙伴企業(yè)從聯(lián)盟整體中分配到的利益;  表示包含有伙伴企業(yè) 的一切聯(lián)盟； 表示聯(lián)盟 的規(guī)模，即 中所含企業(yè)的數(shù)量； 表示聯(lián)盟 的利益； 表示聯(lián)盟 中如果沒有企業(yè) 參加時(shí)的利益;顯然，可以注意到：表示聯(lián)盟S中有 參加的利益與沒有 參加的利益差值，即表示伙伴企業(yè) 對(duì)聯(lián)盟 的貢獻(xiàn)。把伙伴企業(yè) 對(duì)它所參加的聯(lián)盟的所有貢獻(xiàn)加起來便得到伙伴企業(yè) 所應(yīng)分得的利潤。把這樣一種利潤分配方法稱為Shapley值利益分配法。
2、實(shí)例分析
舉例如下：甲乙丙三人經(jīng)商。若單干，每人僅能獲利2元；甲乙合作可獲利6元；甲丙合作可獲利8元；乙丙合作可獲利4元，三人合作則可獲利10元。問三人合作時(shí)，怎樣合理地分配10元的收入？
將三企業(yè)的聯(lián)盟記為： ，且有I的特征函數(shù)為：
 
依據(jù)上面的計(jì)算法則可得：

（四）、利用D-S證據(jù)理論合成法則進(jìn)行專家意見合成

證據(jù)理論（或稱 Dempster-Shafer 理論）是從概率論發(fā)展而來的一種樣本空間度量理論，它最早始于 Dempster 關(guān)于上下概率分布簇的研究，Shefer在1976年給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論并指出信任函數(shù)可以表示不確定性知識(shí)及其推理。對(duì)比經(jīng)典概率論的完整理論體系，證據(jù)理論的兩個(gè)基本的證據(jù)度量函數(shù)即信任函數(shù)和似然函數(shù)作為概率函數(shù)的推廣，它們成立的條件弱于概率函數(shù)（不需要了解命題的先驗(yàn)概率），具有直接表達(dá)“不確定性”的能力，對(duì)不確定性問題的處理具有更大的靈活性和更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。
1、D-S證據(jù)理論合成法則
設(shè) 和 是同一識(shí)別框架 上的兩個(gè)信度函數(shù)， 和 分別是其對(duì)應(yīng)的基本可信度分配， 和 的焦元（若 且 ，則稱 為焦元）分別為 和 ，設(shè)： 
那么，由下式定義的函數(shù) 是基本可信度分配
  
其中，記作 
2、實(shí)例說明
假設(shè)兩位專家認(rèn)為某一患者得三種病 的基本概率賦值函數(shù)為：
               
              
我們通過合成法則計(jì)算得， 
所以，可得，           
即患者得三種病 的可能值為：

二、上述模型的改進(jìn)與綜合應(yīng)用

在實(shí)際情況中，卻很難找到一個(gè)能用單一數(shù)學(xué)模型來解決的問題。這樣，就需要我們有分析辨別問題的能力，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，才能達(dá)到合理解決問題的目的。只有真正掌握了這些模型，才能對(duì)其進(jìn)行綜合應(yīng)用，更好的與實(shí)際問題相結(jié)合，達(dá)到我們預(yù)期的效果。

一、	極值法和期望值法的綜合利用模型

設(shè)一家企業(yè)有 種經(jīng)營方案，且每一種方案有 種收益可能，收益函數(shù)分別為： 。當(dāng)采用第 種方案時(shí)，各種收益的可能性為 ，其中， ，我們可以綜合利用兩種方法進(jìn)行方案選擇。
利用期望收益的方法，可得第 種方案期望收益為：
  ，  
我們對(duì)每一個(gè)函數(shù) 進(jìn)行求導(dǎo)，得到 （ ），
并對(duì)各個(gè) （ ）進(jìn)行升序排列，得到 為所求最大收益值，且對(duì)應(yīng)的第 種方案為最優(yōu)選擇方案。
進(jìn)一步地，如果各個(gè)備選方案構(gòu)成一個(gè)完備事件組的話，且各個(gè)備選方案的概率分別是： 。
那么，這個(gè)企業(yè)的期望收益為：
 
如果將問題的描述做如下轉(zhuǎn)化：
我們?cè)O(shè)決策者對(duì)每一個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)容忍度為： 。此時(shí)，備選方案的風(fēng)險(xiǎn)容忍度概率賦值集 可以不是完備事件組的概率賦值，主要用來描述了決策者對(duì)每一種方案的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)。這樣，各種方案的期望收益分別為： 。
當(dāng)兩種方案的期望收益相等時(shí)，即
 且 。此時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)容忍度賦值不變的情況下，我們認(rèn)為這兩種方案無差異。若有， 增大， 不變，則 ，我們可以稱 為方案 相對(duì)于方案 的風(fēng)險(xiǎn)容忍度轉(zhuǎn)折點(diǎn)。兩兩比較，確定各個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)容忍度轉(zhuǎn)折點(diǎn)，我們可以對(duì)決策者的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)進(jìn)行靈敏度分析，并且可以劃定每一個(gè)方案相對(duì)于其他任一方案的風(fēng)險(xiǎn)容忍度可行域。其實(shí)，對(duì)于單一的期望收益決策法模型，我們也可以做上述的分析。
    
二、D-S證據(jù)理論合成法則的嵌套使用

在很多專家決策問題中，我們不僅僅需要對(duì)待決策問題集進(jìn)行專家評(píng)議，并且需要對(duì)專家的權(quán)威可信度作出客觀的評(píng)價(jià)。所以，借鑒層次分析法的思路，我們可以在多個(gè)層次上使用D-S合成法則，以便得到更為接近實(shí)際情況的決策結(jié)果。即先對(duì)專家的權(quán)威度進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后做為權(quán)重指數(shù)對(duì)專家的評(píng)價(jià)進(jìn)行修正。這里，我們可以稱之為，D-S證據(jù)理論合成法則的嵌套。
在上面例子的基礎(chǔ)上，如果考慮專家權(quán)威度的話，我們對(duì)問題的描述做這樣修改：
假設(shè)兩位專家在五年中對(duì)三種病 的誤診率集分別為：
  我們把決策問題集也轉(zhuǎn)化為：｛A病的可能，B病的可能，C病的可能，未知｝，這樣，問題集中加入未知這個(gè)元素，會(huì)讓問題的描述更為客觀。
    首先，對(duì)專家關(guān)于A病的權(quán)威度進(jìn)行測(cè)定。
在已知專家1在五年中的誤診率集情況下，可以把五年中的誤診率認(rèn)為是另外五位專家對(duì)專家1關(guān)于A病誤診率的判斷。這樣的話，就把問題描述為：
       
      
      
      
           
所以，應(yīng)用合成法則，我們可以計(jì)算出專家1關(guān)于A病的權(quán)威度為：
 
同理可得，
        
同樣可以計(jì)算得，專家2關(guān)于三種病的權(quán)威度為：
               
所以，問題集轉(zhuǎn)化為：
            
           
利用合成法則，得到  
所以，可得，

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